Меню

Эпюры крутящих моментов в валах

Техническая механика

Сопротивление материалов

Деформация кручения

Построение эпюр крутящих моментов

Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов — графическое отображение величины крутящих моментов на каждом участке бруса.

Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечения. Так как равномерно вращающийся или неподвижный вал находится в равновесии, очевидно, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравновешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса. Отсюда следует, что крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение. В частности, если брус имеет постоянное поперечное сечение по всей длине, то опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.

Следует очень внимательно отнестись к определению знаков крутящего момента. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий момент внешних пар сил, приложенных к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот (это положение условно и принимается для облегчения проверки расчетов, выполненных несколькими исполнителями).

Рассматривая величины крутящих моментов, действующих в каждом конкретном сечении бруса, полагаем, что в сечении, где приложен вращающий (скручивающий) момент, значения крутящего момента изменяются скачкообразно (принцип смягченных граничных условий).

Пример построения эпюры крутящих моментов

Силовая передача (трансмиссия), изображенная на рис. 2 состоит из вала, на котором размещены три шестерни — одна ведущая ( А ) и две ведомые ( В и С ).
К шестерням приложены вращающие моменты: РА = 300 Нм, РВ = 120 Нм, РС = 180 Нм.
Построим эпюру крутящих моментов для этой силовой передачи.

Решение

Очевидно, что свободные концы вала, (вращающиеся в подшипниках) не подвержены действию вращающих моментов, т. е. крутящие моменты на участках 1 и 4 равны нулю.
К шестерне А приложен вращающий момент 300 Н м, следовательно в сечении, расположенном под этой шестерней скачкообразно возникает крутящий момент, равный 300 Нм, и величина этого момента сохраняется неизменной по всем сечениям участка 2 (до шестерни В ).

К шестерне В приложен вращающий момент 120 Нм, который направлен в противоположную сторону от ведущего скручивающего момента, приложенного к шестерне А . Следовательно крутящий момент на участке 3 будет равен разности крутящих моментов, приложенных к шестерням А и В . На эпюре это отобразится в виде ступени величиной 120 Нм, расположенной напротив сечения, где размещена шестерня В .
На всем протяжении участка 3 величина этого крутящего момента будет сохраняться неизменной, до сечения, расположенного под шестерней С .

К шестерне С приложен вращающий момент 180 Нм, направление которого противоположно моменту, приложенному к ведущей шестерне А , поэтому, начиная с сечения под шестерней С , крутящий момент будет равен разнице между скручивающим моментом шестерни А и моментами, приложенными к шестерням В и С , т. е.
МКРс = ТА — ТВ — ТС = 300 — 120 — 180 = 0 Нм, и величина этого момента будет распространяться на весь участок 4 , расположенный за шестерней С .

Построив эпюру крутящих моментов, действующих в сечениях вала данной силовой передачи как показано на рис. 2 , отмечаем, что максимальной величины — 300 Нм крутящий момент достигает на участке 2 , т. е. этот участок и является критическим (наименее надежным).

Теперь попробуем изменить расположение шестерен на валу, разместив ведущую шестерню А между ведомыми шестернями В и С , как показано на рис. 3 . Приложенные к шестерням вращающие моменты оставим без изменения и построим эпюру крутящих моментов для измененной конструкции ( рис. 3 ).

Читайте также:  Окружен деревянно земляным валом

Из полученной эпюры видно, что на участке 2 (между шестернями В и А ) крутящий момент равен —120 Нм, на участке 3 — +180 Нм, а на участках 1 и 4 крутящие моменты равны нулю, как и в предыдущей конструкции. И если в рассмотренной ранее конструкции максимальный крутящий момент достигал 300 Нм, то теперь его величина снизилась до 180 Нм.
Рациональным размещением шестерен на валу силовой передачи мы смогли значительно уменьшить максимальный крутящий момент, возникающий в сечениях этого вала, повысив надежность передачи. При этом передаточные отношения и функционал самой передачи не изменились.

Материалы раздела «Деформация кручения»:

Источник

Научная электронная библиотека

Лекция 7. КРУЧЕНИЕ

Крутящие моменты (внутренний силовой фактор) в поперечных сечениях стержня. Кручение стержней круглого поперечного сечения: допущения, деформации, напряжения, углы закручивания. Условия прочности, жёсткости. Построение эпюр крутящих моментов.

Кручение имеет место в случае действия на вал момента (пары сил) относительно его продольной оси, и в поперечных сечениях бруса возникает только один силовой фактор – крутящий момент. Брус, работающей на кручение называется валом. При кручении вала его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса.

Напряжения и деформации при кручении бруса. Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце бруса, левый конец которого жестко закреплен, брус будет закручиваться. Выделим из бруса элементарный цилиндр длиной dx (рис. 19). Будем считать, что левое сечение бруса жестко закреплено. Под действием крутящего момента T правое сечение повернется на некоторый угол dφ.Так как ds = γ•dx = ρ•dφ, то получаем . Из данной зависимости видно, что угол сдвига γ изменяется по радиусу вала по линейному закону.

Рис. 19. Расчетная схема при кручении

Деформация бруса при кручении характеризуется относительным углом закручивания .

При малых углах закручивания вала в теории кручения круглых стержней принимаются допущения:

1. Поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к его оси до деформации, остаются плоскими (не коробятся) и перпендикулярными к оси вала и после деформации (гипотеза Бернулли).

2. Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются и не изменяют своей длины.

3. Длина вала в результате закручивания не изменяется.

Поперечное сечение вала ведет себя при кручении, как жесткий диск, и деформацию кручения можно рассматривать, как результатсдвига одного поперечного сечения относительно другого. В этом случае в точках поперечного сечения вала возникают только касательные напряжения.

Теория кручения, основанная на упомянутых допущениях, подтверждается экспериментальными данными.

Согласно закону Гука при сдвиге, имеем . Откуда получаем:

Из полученной зависимости следует, что касательные напряжения изменяются по радиусу по линейному закону.

При кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей – к крутящему моменту. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенные через точки их действия (рис. 20). Крутящий момент T в сечении бруса определяется по формуле

где ρ – плечо элементарной силы.

Подставляя значение касательного ускорения, получим

(8)

Элементарный угол закручивания бруса: полный угол закручивания

Максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса будет определяться по зависимости:

Прочность и жесткость при кручении. Условие прочности при кручении имеет вид

(9)

Для бруса круглого сечения эти условия принимают вид:

Построение эпюр крутящих моментов. Крутящий момент, возникающий в поперечном сечении стержня, определяется методом сечений. Крутящий момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных к любой из частей стержня. Эпюра крутящих моментов – это график, показывающий изменения крутящего момента по длине вала. Правило знаков для эпюры крутящих моментов

Читайте также:  Неисправности карданного вала бмв

При построении эпюры крутящих моментов используется правило знаков: скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки при взгляде на поперечное сечение, вызывает в этом сечении положительный крутящий момент.

Брус разбивается на участке, на каждом участке проводится сечение и определяется крутящий момент. Затем строится эпюра крутящих моментов.

Источник

Техническая механика

Примеры решения задач по сопротивлению материалов

На этой странице приведен еще один пример решения задачи по Сопромату, в которой необходимо произвести расчет вала переменного сечения (ступенчатого), нагруженного крутящими моментами. По результатам расчетов необходимо подобрать размеры вала, а также определить максимальную деформацию вала на скручивание (угол закручивания).

Результаты расчетов оформлены эпюрами крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания бруса.

Студентам технических специальностей ВУЗов в качестве методической помощи предлагаются к скачиванию готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике). Представленные задания и примеры их решения предназначены, в частности, для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

Расчет вала

Условие задачи:

К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 1 ).

Требуется:

Построить эпюру крутящих моментов Мкр , подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений τmax , построить эпюру углов закручивания φ вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.

Исходные данные:
Указания:

Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными.
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z , минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z ). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ τ ] для стали принимать равным 100 МПа.

Решение:

1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке от свободного конца вала.
Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.

2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака):

Так как для круглого сечения полярный момент равен: Wр = πD 3 /16 , то можно записать:

D ≥ 3 √ (16Мкр/π[τ]) ≥ 3(16×12,2×10 3 /3,14×[100×10 6 ]) = 0,0855 м или D ≥ 85,5 мм.

( Здесь и далее знак «√» означает квадратный корень из выражения )

В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 90 мм.

3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:

где
G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8×10 10 Па;
Ip – полярный момент инерции (для круглого сечения Iр = πD 4 /32 ≈ 0,1D 4 , м 4 ).
Произведение G×Iр = 8×10 10 ×0,1×0,094 ≈ 524880 Н×м 2 – жесткость сечения данного вала при кручении.

Расчитываем углы закручивания на каждом участке:

4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):

5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:

Читайте также:  Компрессор кондиционера рендж ровер спорт 3 6 дизель

6. Наибольший относительный угол закручивания Θmax определим по формуле:

7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов Мкр , касательных напряжений τmax и углов закручивания φ (см. рис. 2).

Источник

Крутящие моменты. Построение эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты. Построение эпюры крутящих моментов

  • Крутящий момент график крутящего момента На самом деле явление кручения испытывают многие конструктивные элементы, а именно трансмиссионный вал, вал двигателя и турбины, спиральная пружина, элемент пространственной структуры и т.д. Кручение

прямой балки происходит, когда она нагружена внешним крутящим моментом, который действует на плоскость, перпендикулярную продольной оси балки. Внешний крутящий момент обозначается MSK. Технические характеристики Н-м или кН-м при перекруте и внешних кручения. Характер деформации при кручении

балки во многом зависит от формы ее поперечного сечения. Кручение Людмила Фирмаль

стержней прямоугольного сечения или с поперечным сечением- G) M f500h m2 * 300 200N-M ——— ———- Семь сотен и семьдесят семьдесят семь С/J б) В м, ■(- Семь сотен и семьдесят семьдесят семь б) 4Л __ Четыре.————- T77g ГПТП^Р Рис 20.1 По форме каналов она существенно отличается от скручивания балки круглого сечения. В этой главе круглое поперечное сечение принимает только форму

прямого скручивания балки, то есть круга или кольца. Вначале, также при растяжении, внешний крутящий момент от заданного действия обретает характер распределения по оси крутящего момента штока. Определение крутящего момента. Раздел 202 основан на методе. Для удобства построения графика L1K им присваиваются знаки, при этом символ крутящего момента в любом сечении стержня численно

  • равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов, приложенных к остальной части стержня после его мысленного рассечения на две части. Согласимся с правилами следующих знаков АФК: крутящий момент l1k, когда смотришь на конец остальной балки, внутренний крутящий момент совпадает с ходом стрелки по часовой стрелке. Изменение крутящего момента по длине балки удобно изобразить в виде графика графика крутящего момента. Каждая ордината принятого масштабного графика MK равна

крутящему моменту, который эта ордината действует на ее поперечное сечение соответствующего стержня. В сечении, где к балке приложен внешний крутящий момент, вертикальная ось графика изменяется с скачком, равным значению этого момента. График MC строится вдоль участка, где граница приложена к внешнему крутящему моменту. В любом сечении в каждом сечении условие статического равновесия остальных частей выполнено в виде SAfK=O, из которого выведено значение внутреннего

крутящего момента. Например. Участок луча M(рис. 20.1, а) закреплены на Людмила Фирмаль

подшипниках B и C и нагружены крутящим моментом l/1= = 500N-m, M2=300N-m, M3=200N-M. Решение. В этом случае Луч имеет четыре секции: BD, DH, CT и TC. Предположим, что в подшипниках B и C отсутствует трение, и балка может свободно вращаться. Тогда отсутствует внутренний крутящий момент на двух крайних участках BD и TS. В сечении DH нарисуйте сечение 1 -/, перпендикулярное оси луча. О левой стороне остальных (рис. 20.1, 6) запишите уравнение статического равновесия SM2=-500+L1L=0, где Mk= = 500N-m. В отделении КТ будут вести 2-2 подразделения.

Остальные уравнения статического равновесия слева(рис. 20.1, в) записывается в таком виде: 2L12=-500+300+L1L1=0, где M / ej=200N-M. Из полученных формул Mki и Mk следует, что моменты DH и KT на участке постоянны, а график их изменения представлен прямой линией, параллельной оси стержня, и эти графики показаны на рисунке. 20.1, а.

Источник

Adblock
detector